Aprender y enseñar Matemáticas

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Matemáticas Gourmet. "Las esferas de Dandelin" Posted: 14 Apr 2016 03:04 PM PDT Por Antonio Rubio y Ángel de la Llave Hoy traemos al apartado de Matemáticas Gourmet, con plena justicia, una demostración de Dandelin sobre las propiedades de la elipse, que titulamos "Las esferas de Dandelín" Es frecuente dar dos definiciones de la elipse: 1) Como lugar geométrico del plano ("La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante") y 2) Como curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo que corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice. Una demostración muy clara de la equivalencia de ambas definiciones viene en el libro de "Calculus", de Tom Apóstol, que la presenta así: "Hay un razonamiento muy simple y elegante que prueba que la propiedad focal de una elipse es consecuencia de su definición como sección de un cono. Esta demostración fue descubierta en 1822 por el matemático belga G.P.Dandelin (1794-1847) utilizando dos esferas que son tangentes al conoy al punto secante tal como indica la figura 6.11. Estas esferas son tangentes al cono a lo largo de dos circunferencias C1 y C2. Se demostrará que los puntos F1 y F2 de contacto de las esferas con el plano son precisamente los focos de la elipse" Desde que estudias la demostración de Dandelin quedas enamorado de ella. La demostración se basa solamente en el hecho de que las distancias de las tangentes trazadas desde un punto a una esfera miden lo mismo. La demostración  de este lema la puedes leer más abajo. Una vez establecido este lema, la demostración de Dandelin es una línea. Basta mirar la construcción para entenderla a la primera. Por ello hemos construido un modelo tridimensional utilizando materiales de andar por casa. Puedes ver el resultado en esta foto y en este vídeo Demostración  Considerando las tangentes trazadas desde P a la primera esfera S1 PA1 = PF1 Cnsiderando las tangentes trazadas desde P a la segunda esfera S2 PA2 = PF2 Por consiguiente PF1 + PF2 = PA1 + PA2 = la distancia  entre los paraleos C1 y C2 = constante Lema La longitud de cualquier tangente trazada a una esfera desde un punto exterior es una cantidad fija. Demostración En efecto, si P es el punto exterior, O es el centro de la esfera de radio r y T es el punto de tangencia en la superficie esférica. Por el teorema de Pitágoras resulta que PT es un cateto del triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la distancia PO y por otro cateto el radio, r, de la esfera. Como consecuencia, el lugar geometrico de los puntos de tangencia de las tangentes trazadas a una esfera desde un punto, es un paralelo de la esfera.  Para los amantes de la bibliografía, la demostración de Dandelin viene recogida en casi todos los cursos de geometría clásica.: Recomendamos: Elements de Geometrie de FGM, Geometría FTD, Geometrría superior de Bruño, etc. Para los aficionados a las matemáticas diré que uno de los estudios más brillantes de las propiedades de las cónicas está, como es habitual, el libro de Geometría Métrica  de Pedro Puig Adam (libro II, lección 27).

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